除以零（第4/8页）

卡尔并不相信这些焦虑是雷内行为古怪的原因。果真是这样的话，他觉得自己肯定会发现蛛丝马迹。但他现在得到的印象却全然不是这么回事。令雷内感到苦恼的无论是什么，反正他猜不透。这使他感到烦恼。

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一九三一年，库尔特·哥德尔证明了两大定理。第一个定理实际上表明：数学包含或许是真实的，但在本质上却无法证明的陈述。甚至简单如算术的形式系统也可以包含精确、有意义，而且似乎是真实无疑的陈述，但却无法用形式方法加以证明。

他的第二个定理表明：断言算术具有逻辑上的一致性，这就是上面所说的那种陈述之一，采用算术公理的任何方法都不能证明其真实性。也就是说，作为一种形式系统的算术无法保证不会得出一等于二这样的结果。这样的矛盾也许永远不会遇到，但却无法证明绝对不会遇到。

6A

卡尔再次走进雷内的书房。她站在书桌前，抬头看他。他鼓起勇气说：“雷内，显然是——”

她打断他，“你想知道我烦恼的原因吗？好吧，我告诉你。”说着便拿出一张白纸，在书桌前坐下，“等一下，这需要一点时间。”卡尔又张开嘴，但雷内挥手示意他保持沉默。接着，她深深地吸了一口气，开始写起来。

她画了一条线，穿过纸的中央，将纸分成两栏。然后，她在一栏的顶部写下数字1，另一栏的顶部写下数字2。接着她在这两个数字下面迅速地画了一些潦草的符号，又在这些符号下面把它们扩展成一串串别的符号。她边写边咬牙切齿，写下那些文字时，感觉好像她正用指甲刮过黑板似的。

写到纸的三分之二左右时，雷内开始将长串长串的符号缩短成连续的短串符号。她心里想，现在要到关键处了。她意识到自己用力过大，下意识地放松握在手中的铅笔。在她写出的下一行上，符号串变成一样的了。接着，她重重地画了个“=”号，横过纸的底部中心线。

她将纸递给卡尔。他望着她，表示看不懂。“看一看最上面吧。”他照办了，“再看一看最下面。”

他眉头紧锁。“我还是看不懂。”

“我发现了一种体系，可以使任何数字等于任何别的数字。这张纸上就证明了一和二是相等的。你随便挑两个数字，我都可以证明它们是相等的。”

卡尔似乎竭力在回忆什么。“里面肯定出现了以零为被除数的情况，对吗？”

“不对。没有不符合规则的运算，没有不严谨的术语，没有想当然假定的独立公理，全都没有。证明过程绝对没有采用任何规则禁止的东西。”

卡尔摇了摇头。“等一下。显然一和二是不相等的。”

“但在形式上它们是相等的，证明就在你手里。我使用的一切方法都是绝对无可争议的。”

“但你得出了一个矛盾的结果？”

“说对了。也就是说，算术作为一种形式系统，是不一致的。”

6B

“你找不出错误来，这就是你的意思吗？”

“不对，你没有明白我的意思。你以为我是因为这个才焦头烂额的吗？证明本身并没有错误。”

“你的意思是说，用的方法都是对的，结果却出了错？”

“正确。”

“你肯定——”他戛然而止，却太晚了。她瞪着他。她当然可以肯定。他想知道她到底想得出什么结论。

“你懂吗？”雷内道，“我已经推翻了大半个数学，这门学问全都没意义了。”

她焦躁起来，几乎快发疯了。卡尔小心翼翼地选择字眼，“你怎么能这么说？数学仍然有用。科学和经济并不会因为你这个领悟而突然崩溃的。”

“这是因为他们使用的数学纯粹是骗人的把戏，是一种口诀式的小玩意儿，跟用指关节来计算哪些月份有三十一天一样。”

“不一样。”

“为什么不一样？现在，数学与现实绝对毫无关系。且不说像虚数或者无穷小数之类的概念，就连该死的整数加法都跟用指头计算毫无关系。你用指头计算，一加一始终等于二，但在纸上我可以给你无穷多的答案，这些答案全都同样有效，这也意味着它们全都同样无效。我可以写出你见过的最优美的定理，但它却不过是一个瞎扯淡等式。”她苦笑起来，“实证主义者曾经说一切数学都是同义反复。他们错了；数学是自相矛盾。”